Question

如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E．（1）证明： ；（2）证明：

如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E．（1）证明： ；（2）证明：∠D=∠AEC；（3）若⊙O的半径为5，BC=8，求△CDE的面积．

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Answer 1

（1）证明：∵BC是⊙O的弦，半径OE⊥BC， ∴ ． （2）证明：连接OC，∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD=90°． ∴∠OCB+∠DCF=90°． ∵∠D+∠DCF=90°， ∴∠OCB=∠D， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠B， ∵∠B=∠AEC， ∴∠D=∠AEC． （3）解：在Rt△OCF中，OC=5，CF=4， ∴OF= =3． ∵∠COF=∠DOC，∠OFC=∠OCD， ∴Rt△OCF∽Rt△ODC． ∴ ，即 ． ∴DE=OD﹣OE= ﹣5= ． ∴ = DE·CF= × ×4= ．