Question

含指数函数的不等式

该不等式如何下手

Answer 1

8^x=2^(3x)=(2^x)³;
4^x=2^(2x)=(2^x)²;
所以不等式等价于
(2^x)³-2*(2^x)²-4*(2^x)+3<0
令2^x=t, 则原不等式等价于
t³-2t²-4t+3<0
解不等式.
先令t³-2t²-4t+3=0,
得到三个根
t = -(根号5+1)/2, t = (根号5-1)/2, t = 3.
重要的步骤给你写出了, 后面自己做吧. 打字很不好打, 请见谅.

追问

t³-2t²-4t+3=0,麻烦说一下这个怎么解，我高二。

追答

关于高中的三次方程都不难, 因为高中不学三次方程的解法, 所以我们可以直接试根得到.

这个方程可以把x=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3分别带进去(几乎所有高中出现的三次方程都可以用这7个数字进行试根). 试得x=3时等号成立. 然后, 这个方程就一定可以化成:

(t-3)*?=0

这里的问号是多少呢?

我们可以用比较常规的方法: 多项式的除法 (这个高中是必须学的解简单的三次方程的方法).

把t³-2t²-4t+3作为被除数, t-3作为除数, 两式子相除.

写法如下:

这里有什么不懂的问我哈.

然后除下来是t²-t-1

所以上面的问号就是t²-t-1了.

然后根据二次方程的解法(公式法)求得剩余的那两个根.