Question

已知双曲线C： （a＞0，b＞0），F 1 、F 2 分别为C 的左、右焦点。P为C右支上一点，且使∠F 1 PF 2 =

已知双曲线C： （a＞0，b＞0），F 1 、F 2 分别为C 的左、右焦点。P为C右支上一点，且使∠F 1 PF 2 = ，又 △F 1 PF 2 的面积为 。（1）求C的离心率e；（2）设A为C的左顶点。Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0），使得∠QF 2 A= λ∠QAF 2 恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）如图，在△PF 1 F 2 中，由余弦定理，   ∴ ∴ 。
（2）由（1），双曲线方程为 若QF 2 ⊥x轴，此时Q（2a，3a），c=2a，△QAF 2 为等腰Rt△ ∠QAF 2 = 下证 令 tan∠QF 2 A= tan2∠QAF 2 = tan∠QF 2 A ∴存在常数 ，使∠QAF 2 = ∠QF 2 A恒成立。