Question

已知f(x)＝lnx?ax．（I）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；（II）若f（x）在[1，e]（e是自然对数

已知f(x)＝lnx?ax．（I）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；（II）若f（x）在[1，e]（e是自然对数的底）上的最小值为32，求a的值．

Answer 1

由题意得x＞0，所以定义域为（0，+∞），且f′(x)＝

1

x

+

a

x2

．
（I）显然，当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）在定义域上单调递增；
（II）当a＞0时，由（I），得f（x）在定义域上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值为f（1），即f（1）=

3

2

?-a=

3

2

?a=-

3

2

（与a＞0矛盾，舍）；
当a=0时，f（x）=lnx，显然在[1，e]上单调递增，最小值为0，不合题意；
当a＜0时，f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
若x∈（0，-a），则f′（x）＜0，f（x）单调递减，若x=-a，则f′（x）=0，
若x∈（-a，+∞），则f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当-a≤1即-1≤a＜0时，f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，?a=-

3

2

（舍），
当1＜-a＜e即-e＜a＜-1时，f（x）_min=f（-a）=1+ln（-a）=

3

2

?a=-e

1

2

（满足题意），
当-a≥e即a≤-e时，f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，?a=-

e

2

（舍），
综上所述，a=-e

1

2

．