Question

如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的

如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC= 3 ，则图中阴影部分的面积是______．

Answer 1

连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M， ∵OA=OT，AT平分∠BAC， ∴∠OTA=∠OAT，∠BAT=∠CAT， ∴∠OTA=∠CAT， ∴OT ∥ AC， ∵PC⊥AC， ∴OT⊥PC， ∵OT为半径， ∴PC是⊙O的切线， ∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC， ∴∠OMC=∠MCT=∠OTC=90°， ∴四边形OMCT是矩形， ∴OM=TC= 3 ， ∵OA=2， ∴sin∠OAM= 3 2 ， ∴∠OAM=60°， ∴∠AOM=30° ∵AC ∥ OT， ∴∠AOT=180°-∠OAM=120°， ∵∠OAM=60°，OA=OD， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠AOD=60°， ∴∠TOD=120°-60°=60°， ∵PC切⊙O于T， ∴∠DTC=∠CAT= 1 2 ∠BAC=30°， ∴tan30°= DC 3 ， ∴DC=1， ∴阴影部分的面积是S 梯形OTCD -S 扇形OTD = 1 2 ×（2+1）× 3 - 60π ×2 2 360 = 9 3 -4π 6 ． 故答案为： 9 3 -4π 6 ．