Question

已知函数f（x）=1x+alnx．（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，试求a的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+ax-lnx，a

已知函数f（x）=1x+alnx．（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，试求a的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+ax-lnx，a∈[1，e]（e为自然对数的底），是否存在常数t，使h（x）≥t恒成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=?

1

x2

+

a

x

=

ax?1

x2

，当a=0时，f(x)＝

1

x

＞0恒成立，
当a＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）在定义域内单调递减，
若取a=-1，则f（e）=

1

e

?1＜0，即fx）＞0不恒成立．f(x)≥f(

1

a

)＝a?alna
当a＞0时，f′（x）＜0，得x＜

1

a

，由f′（x）＞0得x＞

1

a

，
∴f（x）在(0，

1

a

)内单调递减，在(

1

a

，+∞)内单调递增，
∴f(x)≥f(

1

a

)＝a?alna，由a-alna＞0得a＜e，∴a∈（0，e），
综上得a的取值范围为[0，e）．
（Ⅱ）h(x)＝

1

x

+alnx+ax?lnx，定义域为（0，+∞），
∴h′(x)＝

?1

x2

+

a

x

+a?

1

x

=

(ax?1)(x+1)

x2

，
∵a∈[1，e]，∴h（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，+∞）上单调递增，
∴h(x)≥h(

1

a

)＝a?alna+1+lna，
令g（a）=a-alna+1+lna，则g′(a)＝

1

a

?lna，g″(a)＝?

1+a

a2

，
∵a∈[1，e]∴g^″（a）＜0，
∴g′（a）单调递减，g′（a）≤g′（1）=0，
∴g（a）在[1，e]上单调递减，
∴g（a）≥g（e）=2，
∴h（x）≥2恒成立，即t≤2．
∴存在实数t使h（x）≥t恒成立，t的取值范围为（-∞，2]．