Question

已知函数f(x)＝12x2+alnx．（Ⅰ）当a＜0时，若?x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范围；（Ⅱ）令g（x）=f

已知函数f(x)＝12x2+alnx．（Ⅰ）当a＜0时，若?x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范围；（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（a+1）x，a∈（1，e]，证明：对?x1，x2∈[1，a]，恒有|g（x1）-g（x2）|＜1．

Answer 1

（I）当a＜0，由f′(x)＝x+

a

x

．
令f′（x）=0，
∴x＝

?a

列表：

x	(0， ?a )	?a	( ?a ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

这是f(x) min＝f(

?a

)＝?

a

2

+aln

?a

．
∵?x＞0，使f（x）≤0成立，
∴?

a

2

+aln

?a

≤0，
∴a≤-e，
∴a范围为（-∞，-e]．
（Ⅱ）因为对对?x∈[1，a]，g′(x)＝

(x?1)(x?a)

x

≤0，所以g（x）在[1，a]内单调递减．所以|g(x1