Question

已知函数f(x)=alnx-x+2.其中a≠0若任意的x∈[1,e],总存在x′∈[1,e],使f﹙x﹚+f﹙x′﹚=4,求a

Answer 1

f(x)=alnx-x+2.其中a≠0，
f'(x)=a/x-1=(a-x)/x,
a<0时f'(x)<0,f(x)是减函数，f(1)=1,f(e)=a+2-e,
x∈[1,e]时f(x)的值域是[a+2-e,1],①
若任意的x∈[1,e],总存在x′∈[1,e],使f﹙x﹚+f﹙x′﹚=4,②
<==>总存在x′∈[1,e],使f(x')取遍[3,2+e-a],这与①矛盾。
a>0时0<x<a时f'(x)>0,f(x)是增函数，x>a时f'(x)<0,f(x)是减函数：
∴f(x)<=f(a)=alna-a+2.
0<a<=e时f(a)<=2,易知②不成立；
a>e时x∈[1,e]时f(x)的值域是[1,a+2-e],
②变为总存在x′∈[1,e],使f(x')取遍[2+e-a,3],
<==>1<=2+e-a,且3<=a+2-e,
<==>1+e<=a<=1+e,
∴a=1+e.