Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对于任意的m、n（m、n∈（0，+∞））满足f(m)+f(n)＝f(m

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对于任意的m、n（m、n∈（0，+∞））满足f(m)+f(n)＝f(mn)，且a、b(0＜a＜b)满足|f(a)|＝|f(b)|＝2|f(a+b2)|．（1）求f（1）；（2）若f（2）=1，解不等式f（x）＜2；（3）求证：3＜b＜2+2．

Answer 1

（1）解：令m=n=1，
由f（m）+f（n）=f（mn），
得f（1）+f（1）=f（1）
∴f（1）=0…（3分）
（2）解：∵f（2）=1，
∴f（x）＜2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴0＜x＜4，
∴f（x）＜2的解集为 （0，4）…（7分）
（3）证明：∵f（1）=0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴x∈（0，1）时，f（x）＜0，
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，
又|f（a）|=|f（b）|，
∴f（a）=f（b）或f（a）=-f（b），
∵0＜a＜b，
∴f（a）=-f（b）
∴f（a）+f（b）=f（ab）=0，
∴ab=1，
∴0＜a＜1＜b，
又∵|f(b)|＝2|f(

a+b

2

)|，且b＞1，

a+b

2

＞

ab

＝1
∴f(b)＝2f(

a+b

2

)，
∴4b=a²+2ab+b²，
4b-b²-2=a²，考虑到0＜a＜1，
∴0＜4b-b²-2＜1，又b＞1
∴3＜b＜2+

2

．