在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．（1）求a，b的值；（2）设椭圆E...
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．（1）求a，b的值；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N．①当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；②若cos∠AMB=-6565，求△ABM的面积．
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（1）由已知，
＝
，且a-c=2，
解得a=4，c=2，
∴b2=a2-c2=12，
∴a=4，b=2
；
（2）①由（1），A（-4，0），F（2，0），设N（8，t）．
再设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将点A，F，N的坐标代入，得
，解得
，
∴圆的方程为x2+y2+2x?(t+
)y?8＝0，
即(x+1)2+[y?
(t+
)]2＝9+
(t+
)2，
∵(t+
)2≥(2
)2，当且仅当t+
=±12
时，圆的半径最小，
故所求圆的方程为x2+y2+2x±12
y?8＝0．
②由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．
由
，得M(
，
)，
∴
＝(
，
)，
＝(
，
)，
∴cos∠AMB=
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
解得a=4，c=2，
∴b2=a2-c2=12，
∴a=4，b=2
| 3 |
（2）①由（1），A（-4，0），F（2，0），设N（8，t）．
再设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将点A，F，N的坐标代入，得
|
|
∴圆的方程为x2+y2+2x?(t+
| 72 |
| t |
即(x+1)2+[y?
| 1 |
| 2 |
| 72 |
| t |
| 1 |
| 4 |
| 72 |
| t |
∵(t+
| 72 |
| t |
| 72 |
| 72 |
| t |
| 2 |
故所求圆的方程为x2+y2+2x±12
| 2 |
②由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．
由
|
| 12?16k2 |
| 3+4k2 |
| 24k |
| 3+4k2 |
∴
| MA |
| ?24 |
| 3+4k2 |
| ?24k |
| 3+4k2 |
| MB |
| 32k2 |
| 3+4k2 |
| ?24k |
| 3+4k2 |
∴cos∠AMB=
| ||||
|
|
