Question

已知数列{a n }的前n项和S n 满足： S n = a a-1 ( a n -1) （a为常数，且a≠0，a≠1）

已知数列{a n }的前n项和S n 满足： S n = a a-1 ( a n -1) （a为常数，且a≠0，a≠1）．（1）求{a n }的通项公式；（2）设 b n = 2 S n a n +1 ，若数列{b n }为等比数列，求a的值；（3）在条件（2）下，设 c n =2-( 1 1+ a n + 1 1- a n+1 ) ，数列{c n }的前n项和为T n ．求证： T n ＜ 1 3 ．

Answer 1

（1）∵ S 1 = a a-1 ( a 1 -1) （a为常数，且a≠0，a≠1）， ∴当n≥2时， a n = S n - S n-1 = a a-1 a n - a a-1 a n-1 ， 化简得 a n a n-1 =a （a≠0）， 又∵当n=1时，a 1 =s 1 =a，即{a n }是等比数列． ∴数列的通项公式a n =a?a n-1 =a n （2）由（1）知， b n = 2? a a-1 ( a n -1) a n +1= (3a-1) a n -2a a n (a-1) ， 因{b n }为等比数列，则有b 2 2 =b 1 b 3 ∵ b 1 =3， b 2 = 3a+2 a ， b 3 = 3 a 2 +2a+2 a 2 ， ∴ ( 3a+2 a ) 2 =3? 3 a 2 +2a+2 a 2 ， 解得 a= 1 3 ，再将 a= 1 3 代入得b n =3 n 成立， ∴ a= 1 3 ． （3）证明：由（2）知 a n =( 1 3 ) n ， ∴ c n =2- 1 1+ ( 1 3 ) n - 1 1- ( 1 3 ) n+1 =1- 3 n 3 n +1 +1- 3 n+1 3 n+1 -1 = 1 3 n +1 - 1 3 n+1 -1 ， ∵ 1 3 n +1 ＜ 1 3 n ， 1 3 n+1 -1 ＞ 1 3 n+1 ∴ 1 3 n +1 - 1 3 n+1 -1 ＜ 1 3 n - 1 3 n+1 ， ∴ c n ＜ 1 3 n - 1 3 n+1 ∴数列的前n和T n =c 1 +c 2 +…+c n ＜( 1 3 - 1 3 2 ) +( 1 3 2 - 1 3 3 ) +… + ( 1 3 n -  1 3 n-1 ) = 1 3 - 1 3 n+1 ＜ 1 3