Question

已知圆C 1 的圆心在直线l 1 ：x-y=0上，且圆C 1 与直线 x=1-2 2 相切于点A（ 1-2

已知圆C 1 的圆心在直线l 1 ：x-y=0上，且圆C 1 与直线 x=1-2 2 相切于点A（ 1-2 2 ，1），直线l 2 ：x+y-8=0．（1）求圆C 1 的方程；（2）判断直线l 2 与圆C 1 的位置关系；（3）已知半径为 2 2 的动圆C 2 经过点（1，1），当圆C 2 与直线l 2 相交时，求直线l 2 被圆C 2 截得弦长的最大值．

Answer 1

（1）∵圆C 1 与直线 x=1-2 2 相切于点 A(1-2 2 ，1) ， ∴圆心C 1 在直线y=1上，…（1分） 又圆心C 1 在直线x-y=0上， ∴圆心C 1 为直线y=1和直线x-y=0的交点，即点（1，1）．…（2分） ∵圆C 1 与直线 x=1-2 2 相切， ∴圆C 1 的半径等于点（1，1）到直线 x=1-2 2 的距离， 即圆C 1 的半径为 |1-(1-2 2 )|=2 2 ∴圆C 1 的方程为（x-1） 2 +（y-1） 2 =8…（5分） （2）∵圆心C 1 到直线l 2 的距离为 d= |1+1-8| 2 =3 2 ＞2 2 …（7分） ∴直线l 2 与圆C 1 相离．…（8分） （3）由已知，可设圆C 2 的方程为（x-a） 2 +（y-b） 2 =8， ∵圆C 2 经过点（1，1）， ∴（1-a） 2 +（1-b） 2 =8，即（a-1） 2 +（b-1） 2 =8， ∴圆C 2 的圆心C 2 （a，b）在圆C 1 上．…（10分） 设直线l 2 ：x+y-8=0与圆C 2 的交点分别为M，N，MN的中点为P， 由圆的性质可得： |M N| 2 =4(8- |C 2 P| 2 ) ， 所以求直线l 2 被圆C 2 截得弦长MN的最大值即求C 2 P的最小值．…（12分） 又因为C 1 到直线l 2 的距离为 d=3 2 ， 所以C 2 P的最小值为 d- |C 1 C 2 |=3 2 -2 2 = 2 ， 所以 (|M N| 2 ) max =4[8- ( 2 ) 2 ]=24 ， 即 M N max =2 6 ， 故直线l 2 被圆C 2 截得弦长的最大值为 2 6 ．…（14分）