Question

如图，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且AD=PD=2EC，（1）求证：BE∥平面PDA；（2）求平面PBE与平

如图，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且AD=PD=2EC，（1）求证：BE∥平面PDA；（2）求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

（1）取PD中点Q，连接AQ，
∵EC∥PD，EC=

1

2

PD，∴EC∥DQ且EC=DQ，
由此可得四边形DCEQ为平行四边形，
所以EQ∥DC，EQ=DC，
∵ABCD为正方形，∴EQ∥AB，EQ=AB，
∴四边形BEQA为平行四边形，得AQ∥BE，
又∵AQ?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥平面PAD；
（2）延长PE交DC于点K，连接BK，则平面PBE与平面ABCD的交线为BK，
∵PD⊥平面ABCD，BK?平面ABCD，∴PD⊥BK
 又∵EC∥PD，EC=

1

2

PD，∴E为PK中点，C为DK中点，
连接AC，得正方形ABCD中，AC⊥BD且AC=BD
∵平行四边形ACKB中，AC∥BK，AC=BK　
∴BD=BK，且BD⊥BK，
∵PD∩BD=D，∴BK⊥平面PDB，可得PB⊥BK，
由此可得∠PBD为所求二面角的平面角，
Rt△PBD中，PB=

BD2+PD2

=

2AD2+PD2

=

2AD2+AD2

=

3

AD
∴cos∠PBD=

BD

PB

=

2 AD

3 AD

=

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