Question

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．（1）证明B可逆．（2）求AB-1

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．（1）证明B可逆．（2）求AB-1．

Answer 1

解答：证明：
（1）
令：E_ij表示单位阵中的第i行和第j行对换，
则由题意B=E_ijA，而E_ij是初等矩阵，是可逆的，
又A是可逆的，
根据逆矩阵的乘积依然是可逆的，得：
B=AE_ij可逆．

（2）
∵B=E_ijA，
∴B^-1=（E_ijA）^-1=A^-1?E_ij^-1=A^-1E_ij，（E_ij的逆矩阵依然为本身）
从而：AB^-1=A?A^-1E_ij=E_ij．