Question

关于高数极限的问题

如图，我有另一个想法就是将该题分成两个极限相加，即分别求1/(sinx)^2和(cosx)^2/x^2的极限并相加，然后我对1/(sinx)^2求极限的做法是变为(1/x^2) * (x/sinx)^2，这样就得到极限1/x^2，而对(cosx)^2/x^2，就是变为
(1-(sinx)^2)/x^2 = 1/x^2 - (sinx/x)^2，最后两者相加得到结果是1，我的想法究竟哪里错了？两个重要极限是不是也像等价无穷小那样，不能随便用在加减上？

Answer 1

极限是两个正无限大的差，在数学上是不定型，是不容许分开求极限的。你可以对两项的差进行化简，就像你对第二项所作的那样是恒等式化简，但对第一项的化简有问题，因为使用了极限。你用1/x^2代替1/(sinx)^2，和用(1/x^2)+1代替1/(sinx)^2有分别吗？因为结果都是正无穷大。但代替后的结果又不一样了，所以用恒等式化简是最为保险的。这样化简不会错：
1/(sinx)^2=(1/x^2)*(x/sinx)^2=(1/x^2)*[1/(1-(1/3!)x^2+o(x^2))^2]=(1/x^2)*[1/(1-x^2/3+o(x^2))]=(1/x^2)*(1+x^2/3+o(x^2))=1/x^2+1/3+o(1)
和你化简得第二项一合并，即可得结果。

Answer 2

孩纸,极限的加减最多允许一个极限是无穷状态,两个极限都是无穷,则运用极限的加减法则时候,同号不能减,异号不能加,你的其他地方是没错的...貌似..重要极限允许加减的..

追问

能不能更具体点，或者有什么相关资料可以说一下