Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(ab∈R,a≠0)满足f（-x+5）=f（x-3）且方程f(x)=x有等根。求f(x)解析式；

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(ab∈R,a≠0)满足f（-x+5）=f（x-3）且方程f(x)=x有等根。（1）求f(x)解析式；（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]?如果存在，求m，n的值；如果不存在，说明理由。

Answer 1

(1)
f(-x+5)=f(x-3)
a(x-5)^2+b(5-x)=a(x-3)^2+b(x-3)
a[(x-5)^2-(x-3)^2]+b[(5-x)-(x-3)]=0
a(x-5+x-3)(x-5-x+3)+b(8-2x)=0
2a(8-2x)+b(8-2x)=0
(2a+b)(8-2x)=0
x在定义域上任意取值，则只有2a+b=0 b=-2a
方程f(x)=x
ax^2-2ax=x
ax^2-(2a+1)x=0
x[ax-(2a+1)]=0
x=0或x=(2a+1)/a
两根相等
(2a+1)/a=0 a=-1/2 b=1
f(x)的解析式为f(x)=-x^2/2+x

(2)
f(x)=-x^2/2+x=(-1/2)(x-1)^2+1/2
函数对称轴为x=1
n≤1时，函数单调递增。
令f(m)=3m
3m=-m^2/2+m，整理，得m(m+4)=0 m=-4或m=0
f(n)=3n
n(n+4)=0 n=0或n=-4
m=-4,n=0满足题意。
m>1时，函数单调递减
令f(m)=3n f(n)=3m
3n=-m^2/2+m
3m=-n^2/2+n
6(n-m)=(n+m)(n-m)-(n-m)
整理，得
(n-m)(n+m-7)=0
n+m-7=0 n=7-m>1 1<m<6
又n>m,因此1<m<7/2 7/2<n<6

n>1,m<1时，函数最小值=1/2 3m=1/2 m=1/6
f(n)=3n
n=0或n=-4,不满足题意，舍去。

综上，m=-4,n=0或m在(1,7/2)，n在(7/2,6)上取值时，均满足题意。

Answer 2

这么复杂的题。。。