Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c属于R），对任意x都有f(1-x)=f(1+x)成立，若当X属于中括号-1，1中括号

时f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是？

Answer 1

f(x)=ax^2+bx+c
f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)+c=ax^2-(2a+b)x+(a+b+c)
f(1+x)=a(1+x)^2+b(1+x)+c=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)
f(1-x)=f(1+x)
所以：-(2a+b)=2a+b
所以，b=-2a
所以函数式可写作：
f(x)=ax^2-2ax+c=a(x-1/2)^2+(4c-a)/4
其对称轴在x=1/2

函数在[-1,1}恒大于0，分两种情况进行讨论：
（1）a＞0
此时函数图像开口向上，而当x=1/2时有极小值，并且x=1/2属于[-1,1]区间，所以必须极小值大于0，即(4c-a)＞0，a＜4c
即：0＜a＜4c
b=-2a
所以：8c＜b＜0

（2）a＜0
此时函数图像开口向下，而当x=1/2时有极大值，x=1/2是对称轴，在（-∞，1/2）函数递增，在（1/2，+∞）函数递减。
|1/2-(-1)|=3/2＞|1/2-1|=1/2
所以f(-1)＜f(1)
所以只要f(-1)＞0即符合要求：
f(-1)=a(-1-1/2)^2+(4c-a)/4=2a+c＞0，所以a＞-c/2
即-c/2＜a＜0
b=-2a
所以：0＜b＜-c

所以：8c＜b＜0或者0＜b＜-c