Question

无穷级数问题

书上写"即当|r|<1时，∑（上无穷，下n=0)an x^n 收敛；当|r|>=1时，∑（上无穷，下n=0)an x^n 发散" 这是怎么回事？

Answer 1

有大前提：
ρ=lim | a(n+1)/an | = 1 ,或
ρ=lim |an|^(1/n) = 1
r=1/ρ =1

从而，对：∑ anx^n 【对给定的x，直接考虑成为一数项级数】
有：|x| < 1 时：
lim | a(n+1)x^(n+1)/(anx^n) | = lim | a(n+1)/an |*|x| = |x| < 1
由正项级数 比值判别法收敛；
∴∑ anx^n 绝对收敛，故收敛；

有：|x| > 1 时：
lim | a(n+1)x^(n+1)/(anx^n) | = lim | a(n+1)/an |*|x| = |x| > 1
从而，由极限保序性： 当n>N 时：
| a(n+1)x^(n+1)/(anx^n) | > 1
| a(n+1)x^(n+1)| > |(anx^n) | ≥ 0
∑ anx^n 通项不趋于 0 ，故级数必发散。