Question

无穷级数问题

下列级数中，条件收敛的是（B）
<各位大侠我要的是ABCD每一个选项的计算步骤，具体说明它为什么是发散或为什么是绝对收敛或为什么是条件收敛，这次我给的分会比较高，要是解释的特别详细的话，会加分的哦>

Answer 1

A、
首先判断limAn是否趋于零
由于sin的值域限制
显然，An趋于零

然后判断正项级数敛散性
用比较判别法：
（若正项An<Bn，则当B级数收敛时，A级数也必然收敛）
An=|sin(n^2)|/(n(1+n))
Bn=1/(n(1+n))
显然有An<Bn
∑Bn
=∑(1/n-1/(n+1))
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4...-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
—>1
=>
B级数收敛
=>
A正项收敛
=>
A绝对收敛

B、
首先判断limAn是否趋于零
|An|—>0
因此，An趋于零

然后判断正项级数敛散性
用比较判别法：
（若正项An>Bn，则当B级数发散时，A级数也必然发散）
An=1/ln(lnn)
Bn=1/lnn
Cn=1/n
n>2时，1/lnx>1/x
=>
An>Bn>Cn
调和级数Cn发散
=>
∑Bn发散
=>
∑An发散

接下来讨论原级数，用莱布尼兹判别法
首先要满足绝对值逐项递减：
|An|=1/ln(lnn)>1/ln(ln(n+1))=|A(n+1)|
显然满足递减性质
还要满足limAn趋于零（显然）

因此
正项发散且交错项收敛
故
条件收敛

C、
首先判断limAn是否趋于零
|An|=n/(n+1)—>1
因此，An不趋于零
=>
发散

D、
首先判断limAn是否趋于零
|An|=n/2^n—>0

然后判断正项级数敛散性
用达朗贝尔比值判别法：
（若正项An，则当A(n+1)/An—>r<1时，A级数必然收敛）
|An|=n/2^n
|A(n+1)|=(n+1)/2^(n+1)
=>
|A(n+1)|/|An|
=(n+1)/(2n)
—>0.5<1
=>
正项∑|An|收敛
=>
绝对收敛