Question

高数导数证明题

高数导数证明题设f（x）在R上有定义，且f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),设f'(0)=a(常数)，证明f(x)=ax

Answer 1

代入x1=x2=0
得到
f(0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0

f'(0)=lim(△x→0)[f(0+△x)-f(0)]/△x
=lim(△x→0)f(△x)/△x
=a

任取x∈R，
lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/△x
=lim(△x→0)[f(x)+f(△x)-f(x)]/△x
=lim(△x→0)f(△x)/△x
=a
∴f'(x)=a

令F(x)=f(x)-ax
则F'(x)=f'(x)-a≡0
根据拉格朗日中值定理的推论，
F(x)≡常数C

代入x=0，得到
常数C=0
∴F(x)≡0
∴f(x)=ax

追问

没想到半夜三更还有人，多谢啦