Question

数学导数证明题

f（x）=4x/（x^2+1） 若对于任意0＜x1＜x2＜1，
存在x0，使得f（x0）的导数=f（x2）-f（x1）/（x2-x1） 求证x1＜x0的绝对值＜x2.

Answer 1

这道题直接代拉格朗日中值定理，我觉得不严格。因为题目要证的是，（1）存在这样的x0（2）所有满足f'(x0)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)的x0，都有x1<|x0|<x2。拉格朗日中值定理只能保证，x1和x2之间必定存在这样的x0，而无法对其他区间的情况进行分析或推导。

（1）代u/v的微分公式，容易求得f'(x)=4(1-x²)/(1+x²)²。

（2）直接算(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)，化简得(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=4(1-x1x2)/(1+x1²)/(1+x2²)。

（3）因为x1x2<1，则(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)>0。对于|x|>1，f'(x)<0，是无法和(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)相等的，因此不用考虑，下面只考虑|x|<1的情况。

（4）在0<|x|<1的情况下，考虑x>0的部分（f'(x)是偶函数，负数部分是一样的）f'(x)的分子非负且递减，分母非负且递增，因此f'(x)递减。

（5）比较f'(x1)和(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)，因为1-x1²>1-x1x2，而且1+x1²<1+x2²，分子大且分母小，所以容易看出，f'(x1)>(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)。

（6）比较f'(x2)和(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)，因为1-x2²<1-x1x2，而且1+x2²>1+x1²，分子小且分母大，所以容易看出，f'(x2)<(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)。

（7）综合（4）（5）（6），首先，确实在x1和x2之间存在x0，满足要求。而且由于f'(x)本身在0和1之间的递减性，这个x0必定是唯一的。所以在x0>0的部分就证明完全了。同理，x0<0部分也是存在唯一一个x1<-x0<x2的值满足条件。所以（1）存在这样的x0（2）x0必定满足x1<|x0|<x2。

Answer 2

你应该求得出
（1）f'(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2
（2）[ f(x2)-f(x1)] /（x2-x1）=4(1-x1x2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
（发现形式很像）
研究函数g(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2性质，可得其在（0,1）上递减
不妨假设|x0|=x1，则g(x1)>4(1-x1x2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
再假设 |x0|=x2，则g(x2)<4(1-x1x2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
由其单调性可知，必定存在|x0|，且x1＜|x0|＜x2，使得g(x0)-4(1-x1x2)/(x1^2+1)(x2^2+1) 有唯一零点，故得证！

Answer 3

f ' (x0)=（4-4x0²）/（x0^4+2x0²+1）
f(x2)-f(x1)/(x2-x1)=(4-4x1x2)/(x1²x2²+x1²+x2²+1)
f ' (x0)=f(x2)-f(x1)/(x2-x1)
由上三式知x0²=x1x2 ① x1²+x2²=2x0²②
②式两边同时加上2x1x2得(x1+x2)²=2x0²+2x1x2=4x0²③
③两边同时开方得x1+x2=2 |x0|
即(x1+x2)/2= |x0|所以 |x0|是x1和x2的中数
所以x1＜x0的绝对值＜x2

Answer 4

先把f(x)求导得到f'(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2，显然x0正负不影响导数值，不妨设是正的好了，看到
f（x2）-f（x1）/（x2-x1）当然会想到中值定理，0<x1<x2<1,所以f'(x)在x1x2之间连续
，所以存在x1<x0<x2使得f'(x0)=f（x2）-f（x1）/（x2-x1），当然对x0绝对值成立

Answer 5

你是高中生吗？如果不是高中生的话这个题目就是拉格朗日中值定理啊，

追问

恩 我是高中生 知道一点拉格朗日定理 但高中题目又不能用

追答

你是高中生吗？如果不是高中生的话这个题目就是拉格朗日中值定理啊，如果你是高中生的话请看下面证明，这个题目具有特殊性，我们证明一般的，f(x)是连续可导的任意函数
令g(x)=f(x)-f(x1)-f(x1)-(f(x2)-f(x1)(x-x1)/(x2-x1)
你仔细观察就会看出g(x1)=0，g(x2)=0且g(x)也是连续可导的
所以g(x)在（1,x2)之间一定有个最大值，我们设这个最大值为x0
于是就有g'(x0)=0
而g'(x0)=f'(x0)-((f(x2)-f(x1))/(x2-x1)
上式就是你的结论