Question

导数证明题

已知f(x)=xlnx，g(x)=-x²+ax-3 证明：对于一切x∈(0,+∞),都有lnx>1/e² - 2/ex 成立。
应该是lnx>1/e^x - 2/(ex) 成立。

Answer 1

这个题目与g(x)无关
令h(x)=lnx-(1/e² - 2/（ex） )
h'(x)=1/x+2/e*1/x^2
x∈(0,+∞),h'(x)>0，说明在(0,+∞)h(x)单增，
lim(x→0+)h(x)
＝lim(x→0+)[lnx-(1/e² - 2/（ex） )]
=lim(x→0+)[lnx+2/（ex）-1/e² ]
=lim(x→0+)ln[x*e^(2/（ex）)/e^()]
=lim(x→0+)ln[x*e^(2/（ex）－1/e² ]
也就是要证明lim(x→0+)x*e^(2/（ex）－1/e² ）＞1
lim(x→0+)[x*e^(2/（ex）－ ）]
＝ lim(x→0+)x*/e^(1/e²-2/（ex）)
= lim(x→0+)1/e^(1/e²-2/（ex）*2/e*1/x^2