Question

有关导数的证明题

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Answer 1

（1） 若g(a)g(b)=0. 则g(a)=0 或g(b)=0, 如果 g(a)=0, 则a至少是f(x)的二重根（不合），
同理g(b)=0 也不合。
若g(a)g(b)<0, 则g(a)与g(b) 异号， 由连续函数根的存在性定理知，多项式g(x)在开区间(a,b)内至少有一个根c， 于是 f(x)在a,b 之间还有另一个根c（不合，因为a，b是相邻的根）
综上，只能有 g(a)g(b)>0
（2）由于 f(a)=f(b) f(x)是个多项式，因此其导数 f'(x) 在区间[a,b]上连续，由洛尔定理知在开区间(a,b)内存在一个点c， 使f'(c)=0
证毕。

Answer 2

证明：（1） 由于a,b是f(x)的单根 所以g(a)≠0且g(b)≠0，不妨设g(a)>0,那么如果g(b)<0,这时g(a)*g(b)<0且 g(x)是连续的 所以在a与b之间至少存在一点c使得g(c)=0 这与a,b是相邻的根矛盾。所以g(a)g(b)>0.
(2)f'(x)=(2x-(a+b))*g(x)+(x-a)(x-b)g'(x) 显然是连续的。
f'(a)=(a-b)g(a) f'(b)=(b-a)g(b) f'(a)*f'(b)=-(a-b)^2*g(a)g(b)
由于g(a)g(b)>0 所以 f'(a)*f'(b)<0 根据零点存在定理可得
在（a,b）存在一点u使得 f'(u)=0 成立。
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