Question

对于任意定义在R上的函数f(x)若满足对任意x1,x2属于都有f［(x1+x2)/2］小于等于1/2［f(x1)+f(x2)］则f(...

对于任意定义在R上的函数f(x)若满足对任意x1,x2属于都有f［(x1+x2)/2］小于等于1/2［f(x1)+f(x2)］则f(x)是R上的凹函数.已知二次函数f(x)=ax2+x(a属于R且a不等于0).求证:当a>0时,函数f(x)是R上的凹函数

Answer 1

定义证明可以，但不如求二阶导数简洁。
方法：
二阶导数<0 凸函数 ，导数负增长，函数增长变慢。
二阶导数>0 凹函数 ，函数增长越来越快。
证明：∵【f(x)]'=2ax+1, [f(x)]''=2a,∵a＞0,∴[f(x)]''＞0,得证

Answer 2

假使c<d,f(c)+f(d)=a(c^2+d^2)+c+d.
2f[(c+d)/2]=[a(c+d)^2]/2+c+d
f(c)+f(d)-2f[(c+d)/2]=a[c^2+d^2-(c+d)^2/2]=a[c^2+d^2-2cd]/2>0
证明完