Question

若a、b、c、d均为正数，且abcd=1，求证：a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd≥10。

Answer 1

解:
方法一:
已知a>0,b>0,c>0,d>0,则
(a-b)^2≥0
a^2+b^2-2ab≥0
a^2+b^2≥2ab
c^2+d^2≥2cd
a^2+b^2+c^2+d^2≥2ab+2cd

abcd=1
[√(ab)-√(cd)]^2≥0
ab+cd-2√(abcd))≥0
ab+cd≥2
同理
ac+bd≥2
bc+ad≥2

a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd
≥3(ab+cd)+ac+ad+bc+bd
≥3*2+2+2=10
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd≥10
可知(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd)的最小值=10
方法二:
a>0,b>0,c>0,d>0,abcd=1
cd=1/(ab)
ab+cd≥2√[ab*1/(ab)]=2
其它同方法一.

简单解:
a>0,b>0,c>0,d>0,abcd=1
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd
≥3(ab+cd)+(ac+bd)+(ad+bc)
≥3*2√(abcd)+2√(abcd)+2√(abcd)=10