Question

高一数学讨论函数单调性的问题

讨论函数y=4x+a/x在【4，正无穷）上的单调性

Answer 1

设x1>x2>=4
f(x1)-f(x2)=4x1+a/x1-(4x2+a/x2)
=4(x1-x2)+a(1/x1-1/x2)
=4(x1-x2)+a(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(4-a/x1x2)
因为x1-x2>0.x1x2>16,0<1/x1x2<1/16
所以:
1.当a=<0时,4-a/x1x2>0,故f(x1)-f(x2)>0,函数是增函数.
2.当0<a<=64时,0<a/x1x2<=4,则4-a/x1x2>=0,f(x1)-f(x2)>0,函数在区间内是增函数.
3.当a>64时,a/x1x2>4,4-a/x1x2<0,则f(x1)-f(x2)<0,所以,函数在区间内是减函数.

Answer 2

设4<=x1<x2,f(x)=4x+a/x,
则f(x2)-f(x1)=4x2+a/x2-(4x1+a/x1)
=4（x2-x1)-a(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)(4x1x2-a)/(x1x2),
x2-x1>0,x1x2>16,
当a<=64时4x1x2-a>0,有f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1),f(x)是增函数。
当a>64时仿上，f(x)在[(√a)/2,+∞)是增函数，
在[4,(√a)/2]是减函数。

Answer 3

若a≤64，则为单调上升
若a>64，则为单调下降

Answer 4

若a〈0
y1=4x y2=a/x 在区间【4，正无穷）上的单调递增 所以y=4x+a/x在区间
【4，正无穷）递增
若a〉0
1 当64〉=a〉0时 该函数在区间【4，正无穷）为递增函数
当a〉64时 该函数在区间【4，2分之根号a）为递减函数 在区间[2分之根号a，正无穷）为增函数

Answer 5

求导，y`(看的见一撇吗)=4-a/x^;再分情况讨论。a＞0时，可以令y`=0求a的界限值