Question

微积分求解初值问题

Answer 1

这是一个一阶线性常微分方程。

x dy/dx -2y=(e^x)(x^3)

首先两边同时除以x：
dy/dx-2y/x = (e^x)(x^2)

令u(x) = 1/(x^2)
两边同时乘以u(x)：
(1/x^2) dy/dx -2y/x^3 = e^2

这时候注意到-2y/x^3 其实就是1/x^2 的导数，也就是说左边是 u(x) y’(x) + y(x) u’(x) 根据微分乘法的规则可以化简成 （u y）’

这样这个方程就成了(uy)’=e^x
所以uy = e^x + c，c是任意常数。

这时候再两边除以u得到y（同时把u替换成x的方程）:

这个微分方程的一般解就是：
y(x) = c(x^2) + (e^x)(x^2)

这时候带入初值解出c的值：
y（1）=c + e = 0， 所以c = -e

最终解是
y(x) = -e (x^2) + (e^x)(x^2)