Question

如图，在RT三角形ABC中，角ACB=90度，AC=5，BC=12，AD是三角形的角平分线，过A,C，D三点的圆O与斜边AB交于

点E，连接DE，求证AC=AE，求AD的长

Answer 1

因为∠ACD=90°，∴AD为圆O的直径，∴∠AED=90°

又∵AD平分角CAE，∴∠CAD=∠DAE

∴ △ACD≌△AED

∴ AC=AE

∵ AC=5，BC=12，∴AB=13

∴ BE=8，∴△ADE的面积与△BDE的面积比为5:8

而△ADE≌ADC

∴△ACD的面积= 5/18 △ABC的面积

∴CD= 12 * 5/18 =10/3

AD = 根号下（5^2+（10/3）^2) = 5* 根号下（13）/3

Answer 2

证明：∵AD是圆O的直径
∴角ADE=90°
可证三角形ACD全等于AED
∴AC=AE=5

∵ACB相似于DEB
∴DE/AC=BE/BC(AB=13)
∴DE/5=8/12
∴DE=10/3
∴AD=5√13/3