Question

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)为z=x+iy的解析函数 已知 u(x,y)-v(x,y)=x+y 求f(z)

Answer 1

估计是求f(z)的解析式吧，由于函数解析，满足柯西黎曼方程，所以u'x=v'y=e^x*cosy，
，积分得u=e^x*cosy+g(y)，再对x求偏导得u'y=-v'x=-e^x*siny+g'(y)=-e^x*siny，g'(y)=0，所以
g(y)=c，由于f(0)=1+g(0)=2得c=1，所以u=e^x*cosy+1，f(z)=u=e^x*cosy+1+ie^x*siny

Answer 2

设f(z)=u+iv为解析函数，则由
∂v/∂x=-∂u/∂y=-x+2y；
∂v/∂y=∂u/∂x=2x+y。
v=-x^2/2+2xy+y^2/2+C，C为常数。
f(z)=u+iv
=x^2+xy-y^2+i(-x^2/2+2xy+y^2/2+C)
=(1-i/2)(x^2+2ixy-y^2)+iC
=(1-i/2)(x+iy)^2+iC
=(1-i/2)z^2+iC，
f(i)=-1+i代入，得C=1/2，
f(z)=(1-i/2)z^2+i/2