Question

求微分方程：f'(x)+xf(-x)=x的通解

Answer 1

解：微分方程f'(x)+xf'(-x)=x
①
对任意的x均成立。将x替换成-x，得
f'(-x)+(-x)f'(x)=-x
两边都乘以x，得
xf'(-x)-x^2f'(x)=-x^2
②
①-②得
(1+x^2)f'(x)=x+x^2
f'(x)=(x^2+1+x-1)/(1+x^2)=1+x/(x^2+1)-1/(1+x^2)
两边对x积分，得
f(x)=x+1/2*ln(x^2+1)-arctanx+c
不明白请追问。

Answer 2

假设,
若存在y=f(x)满足题意.
由题可知,
y=f(x)在定义域内可导,
且定义域关于原点对称.
因为f'(x)+xf(-x)=x
所以f'(-x)-xf(x)=-x
等号两边相加
f'(x)+f'(-x)+x(f(-x)-f(x))=0
令f(-x)-f(x)=g(x),则g(x)和f(x)定义域相同,
g(-x)=f(x)-f(-x)=-g(x),
则g(x)为奇函数.
g'(x)=-f'(-x)-f'(x)
因为f'(x)+f'(-x)+x(f(-x)-f(x))=0
所以-g'(x)+xg(x)=0
解此方程得g(x)=e^(x^2/2)+C,
C为任意常数.
g(-x)=e^(x^2/2)+C≠-g(x)
所以g(x)不是奇函数.
由此产生矛盾,
所以假设错误,
因此不存在函数y=f(x)满足题意.
有道理,
我常数C的位置写错了

Answer 3

求微分方程：f'(x)+xf(-x)=x的通解
悬赏分：5
-
离问题结束还有
14
天
14
小时
请写出求解的具体步骤，谢谢。
提问者：
max_yuri
-
助理
三级
回答：
【1】我在楼上的基础上继续解答问题，很可惜楼上解答漏掉了一个环节导致求解失败了
【2】
假设存在y=f(x)满足条件.
则有y=f(x)在定义域内可导,
且定义域关于原点对称.
∵f'(x)+xf(-x)=x
∴f'(-x)-xf(x)=-x
∴
f'(x)+f'(-x)+x(f(-x)-f(x))=0
不妨令f(-x)-f(x)=g(x),显然g(x)与f(x)定义域相同,
g(-x)=f(x)-f(-x)=-g(x),
故g(x)为奇函数.
g'(x)=-f'(-x)-f'(x)
∵f'(x)+f'(-x)+x(f(-x)-f(x))=0
∴-g'(x)+xg(x)=0
∴g(x)=Ce^(x^2/2),
C为任意常数.
考虑到g(x)为奇函数，所以g(0)=0
带入后得到g(0)=C=0
C=0
∴g(x)=0
所以g(x)必须为常值函数.
f(-x)-f(x)=g(x)=0
也就是说f(x)是偶函数
原来的微分方程变为y'+xy=x
解方程得到f(x)=1+Ce^(-0.5x^2)
检验后可以知道，这个解的确是答案要求的通解
由此存在函数y=f(x)满足题意.
f(x)=1+Ce^(-0.5x^2)