利用拉格朗日中值定理证明不等式1/1+x<ln(1+1/x)<1/x,(x>0)
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做辅助函数F(t)=ln(1+t),则F在[0,x]上连续且可导.由拉格朗日中值定理得
F(x)-F(0)=F'(α)(x-0)（0<α<x）,
即有ln(1+x)=x/(1+α).
由于0<α<x,
故1/(1+x)<1/(1+α)<1,
从而x/(1+x)<ln(1+x)<x
令x=1/x即得1/1+x<ln(1+1/x)<1/x
F(x)-F(0)=F'(α)(x-0)（0<α<x）,
即有ln(1+x)=x/(1+α).
由于0<α<x,
故1/(1+x)<1/(1+α)<1,
从而x/(1+x)<ln(1+x)<x
令x=1/x即得1/1+x<ln(1+1/x)<1/x
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