Question

设等比数列{an}的首项为a，公比q＞0，前n项和为Sn（1）当a=1时，S1+...

设等比数列{an}的首项为a，公比q＞0，前n项和为Sn （1）当a=1时，S1+1，S2+2，S3+1三数成等差数列，求数列{an}的通项公式； （2）甲：Sn，（Sn+1+1），Sn+2三数构成等差数列，其中n是一个正整数； 乙：Sn+1，（Sn+2+1），Sn+3三数构成等差数列，其中n是一个正整数； 求证：对于同一个正整数n，甲与乙不能同时为真．

Answer 1

解：∵等比数列{an}的首项为a，公比q＞0，前n项和为Sn，
∴当q=1时，Sn=na
当q≠1时，Sn=a(1-qn)1-q
（1）当a=1时，
若q=1时，S1+1=2，S2+2=4，S3+1=4，S1+1，S2+2，S3+1三数不成等差数列，不符合题意
∴q≠1，q＞0
若q≠1时，S1+1=2，S2+2=3+q，S3+1=2+q+q2，
∵S1+1，S2+2，S3+1成等差数列，
∴2（3+q）=4+q+q2，
即q2-q-2=0，q=2，q=-1（舍去）
所以an=2n-1
（2）证明：Sn=na，Sn+1+1=a（n+1）+1，Sn+2=a（n+2）
∵Sn，（Sn+1+1），Sn+2三数构成等差数列，其中n是一个正整数，
∴得出：2=0，不可能甲正确．
Sn+1=a（n+1），Sn+2+1=a（n+2）+1，Sn+3=a（n+3），
∵Sn+1，（Sn+2+1），Sn+3三数构成等差数列，其中n是一个正整数，
∴2a（n+2）+2=a（n+1）+a（n+3），即2=0，乙不可能正确
②当q≠1时，Sn=a(1-qn)1-q，Sn+1+1=a(1-qn+1)1-q+1，Sn+2=a(1-qn+2)1-q，
∴得出甲：aqn（q2-2q-1）=2（q-1），
Sn+1=a(1-qn+1)1-q，2+Sn+2=a(1-qn+2)1-q+2，Sn+3=a(1-qn+3)1-q，
∵Sn+1，（Sn+2+1），Sn+3三数构成等差数列，其中n是一个正整数；
∴aqn+1（q2-2q+1）=4q-4，即aqn+1（q+1）=4，
乙：即aqn+1（q+1）=4，
甲：aqn（q2-2q-1）=2（q-1），
如果n是同一个整数则甲乙组成方程组必定有解，
化简即可得到：q3-2q2+3q+2=0，（q＞0）
令f（q）=q3-2q2+3q+2，（q＞0）
f′（q）=3q2-4q+3，（q＞0），
∵△=16-36＜0，
∴f′（q）=3q2-4q+3＞0，恒成立（q＞0），
即f（q）=q3-2q2+3q+2，（q＞0）单调递增函数，
f（0）=2＞0，
所以可判断：q3-2q2+3q+2=0，（q＞0）无解，出现矛盾．
由以上可以判断：于同一个正整数n，甲与乙不能同时为真．