Question

证明:对正实数a、b、c,有(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>=9(ab+bc+ca).

Answer 1

可证更强式
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>=3(a+b+c)^2.
(一)配方法
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-3(a+b+c)^2
=(a^2+2)(bc-1)^2+(a^2+2)(b-c)^2/2+3(2-ab-ac)^2/2>=0
(二)局部不等式
因为
(b^2+2)(c^2+2)-3[2+(b+c)^2]/2.
=(bc-1)^2+3(b-c)^2/2>=0
所以
(b^2+2)(c^2+2)>=3[2+(b+c)^2]/2.
再由柯西不等式
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>=3(a^2+2)*[1+(b+c)^2/2]
>=3(a+b+c)^2
该不等式有许多证法,例如抽屉原理,判别式法,三角代换法等.