Question

设a.b.c是正实数，且abc=8 证明： a-2/a+1 + b-2/b+1 + c-2/c+1 <= 0

Answer 1

证明如下：

等价推导此不等式（用<=>表示等价）

(a-2)/(a+1)
+
(b-2)/(b+1)
+
(c-2)/(c+1)
<=
0

<=>
1-
3/(a+1)
+
1-
3/(b+1)
+
1-
3/(c+1)
<=
0

<=>
3<=
3/(a+1)
+
3/(b+1)
+
3/(c+1)

<=>
1/(a+1)
+
1/(b+1)
+
1/(c+1)>=1

不等式两边同时乘以(a+1)(b+1)(c+1) ，得到下式

(b+1)(c+1)+(a+1)(c+1)+(a+1)(b+1)>=(a+1)(b+1)(c+1)，果断展开括号得

bc+b+c+1
+
ac+a+c+1
+
ab+a+b+1>=abc+ab+bc+ac+a+b+c+1，该消的消干净只剩下

a+b+c+2>=abc

abc=8代入得

a+b+c>=6，现在你只要证明左边这个简洁的式子就可以了，用均值不等式：

(a+b+c)/3>=三次根号(abc)=2，

因此a+b+c>=6，当且仅当a=b=c=2时等号成立，

综上所述，原不等式得证。