Question

为什么点在圆内时,点到圆上的最小和最大距离都会在直径所在的直线上？

Answer 1

如图，P为圆O内一点，连接OP并延长交圆O于Q，在圆上任取异于点Q的一点Q'

设圆O的半径为r，则有OQ=OQ'=r。在△OPQ'中，一定有PQ'>OQ'-OP>0，即PQ'>r-OP

而PQ=OQ-OP=r-OP，所以就一定有：PQ'>PQ

即：圆内一定点到圆上的点的距离为最小值时，圆上的点即圆心与圆内定点连线延长线的交点。

延长PO交圆O于点R，在圆上任取异于R的一点R'。则有PR=OP+r，且在△OPR'中，一定有：PR'<OR'+OP，即PR'<r+OP，所以就一定有：PR>PR'

即：圆内一定点到圆上的点的距离为最大值时，圆上的点即圆心与圆内定点连线的反向延长线的交点。

综上所述，所求的圆内一点到圆上一点距离的取最值的两个点，就是圆心与圆内定点连线与圆的两个交点。