Question

设x1、x2是f(x)=(a/3)x^3+(b-1)x^2/2+x(a>0)的两个极值点，f'(x)为f(x)导函数，求：

1）如果x1<2<x2<4,求f‘(-2)的取值范围
2）如果0<x1<2,x2-x1=2,求证：b<1/4
3)如果a大于或等于2，且x2-x1=2,x∈(x1,x2)时，函数g(x)=-f'(x)+2(x2-x)的最大值为h(a),求h(a)的最小值。

Answer 1

(1) f(x)=ax^3/3+(b-1)x^2/2+x
f'(x)=ax^2+(b-1)x+1=a(x-x1)(x-x2)
由韦达定理x1*x2=1/a, x1+x2=(1-b)/a
a=1/(x1x2), b=1-(1/x1+1/x2)
f'(-2)=4a-2b+3=4/x1x2+2/x1+2/x2+1
=(2/x1+1)(2/x2+1)
如果0＜x1＜2＜x2＜4->2/x1＞1，2/x2＞2/4
则f'(-2)＞2×(3/2)=3
(2)f'(x)=ax^2+(b-1)x+1
如果0<x1<2,x2-x1=2,则而2<x2=x1+2<4
则必有f'(0)*f'(2)<0,即：(4a+2b-1)<0,
且f'(2)*f(4)<0,即：(4a+2b-1)(16a+4b-3)<0，
上述两不等式等价于(4a+2b-1)<0和(16a+4b-3)>0
解得(3-16a)/4<b<(1-4a)/2，要有解，须(3-16a)/4<(1-4a)/2，
解得1/8<a。
而由x2-x1=2
由(x2-x1)^2=4
化为(x1+x2)^2-4x1*x2=4
则[(1-b)/a]^2-4/a=4
化为(1-b)^2-4a^2-4a=0
即：(1-b)^2=4a(1+a)>4*1/8(1+1/8)=9/16（式1）
而由(1)中b=1-(1/x1+1/x2)<1(因为x1、x2均大于0)
所以（式1）开方得|1-b|=1-b>3/4
则b<1-3/4=1/4
(3)g(x)=-f'(x)+2(x2-x)
=-a(x-x1)(x-x2)+2(x2-x)
=(x-x2)(ax1-ax-2)
对称轴为x=(x1+x2-2/a)/2=[(1-b)/a-2/a]/2
又由x1＋x2＝(1－b)/a，x2-x1=2
得x1=[(1-b)/a-2]/2
x2=[(1-b)/a+2]/2
所以x1<对称轴为x=[(1-b)/a-2/a]/2<x2
即g(x)的最大值在x=[(1-b)/a-2/a]/2=（x1+x2)/2-1/a处取得，
则h(a)=-a[(x1-x2)/2-1/a][(x2-x1)/2+1/a]=-a(-1-1/a)(1+1/a)
=(1/a+2+a)
知1/a+a在[2,正无穷）单增，
h(a)>=9/2
即最小值为9/2

Answer 2

楼上的真有耐性！一个字，服