Question

已知函数f（X）=1/3x^3-bx²+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点

第一问：求单调递增区间。
第二问：若当x∈[1,3]时，f(x)-a^2＞2/3恒成立，求a的取值范围

Answer 1

已知函数f（X）=(1/3)x³-bx²+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点
第一问：求单调递增区间。
第二问：若当x∈[1,3]时，f(x)-a^2＞2/3恒成立，求a的取值范围
解;(1).f′(x)=x²-2bx+2，因为x=2是一个极值点，故有f′(2)=4-4b+2=6-4b=0，故b=3/2；
于是有f′(x)=x²-3x+2=(x-2)(x-1)，故当1<x<2时,f′(x)<0，即在区间(1，2)内f(x)单调减；当x<1或
x>2时f′(x)>0，即在区间(-∞，1)和(2，+ ∞）内单调增。
(2).f(x)=(1/3)x³-(3/2)x²+2x+a，x=1是其极大点，x=2是其极小点；因为当1≦x≦3时f(x)-a²>2/3
恒成立，故应取minf(x)=f(2)=8/3-6+4+a=2/3+a代入得2/3+a-a²>2/3，即有a²-a=a(a-1)<0，故
0<a<1. 就是a的取值范围。

Answer 2

1）求导得f'(x)=x²-2bx+2
把x=2代入,4-4b+2=0
b=3/2
所以f(x)=1/3x³-3/2x²+2x+a
f'(x)=x²-3x+2
令其大于0
f(x)在x小于1及x大于2的区间上单调递增
2)f(x)-a²>2/3恒成立
所以1/3x³-3/2x²+2x>a²-a+2/3恒成立
把左边的函数设为g(x)
g(x)=1/3x³-3/2x²+2x,g(x)=x²-3x+2
从区间可知x在1到3变动时最大值为1或3
g(1)=5/6,g(3)=3/2
所以取g(x)为3/2
3/2>a²-a+3/2恒成立
所以a²-a<0
a属于（0,1）

Answer 3

f'(x)=x^2-2bx+2
f'(2)=4-4b+2=0
得b=3/2
∴f'(x)=x^2-3x+2
=(x-2)(x-1)
这个导函数是开口向上的二次函数
增区间(-∞,1),(2,+∞0
减区间(1,2)
第二问分离系数
f(x)-a^2＞2/3
即1/3x^3-3/2x²+2x+a-a^2＞2/3
a^2-a＜1/3x^3-3/2x²+2x-2/3
即a^2-a＜｛1/3x^3-3/2x²+2x-2/3｝min
设g(x)=1/3x^3-3/2x²+2x-2/3
g'(x)=x^2-3x+2
=(x-2)(x-1)
g(x)在x=1取极大值，在x=2取极小值
∴a^2-a＜g(2)=0
即a^2-a＜0
a(a-1)＜0
0＜a＜1