Question

极限的定义证明

Answer 1

在数列极限的部分已经证明了：当n趋近于无穷时，数列(1+1/n)^n趋近于一个常数，把这个常数记为e，这是e的定义（这是定义，不是证明出来的）。

把这个函数取自然对数，证明xln(1+1/x)趋近于1就可以了。

由于我们知道ln(1+y)可以做泰勒展开=1/x-1/2x^2+1/3x^3-，所以：

xln(1+1/x)=x*(1/x-1/2x^2+1/3x^3-……=1-1/2x+1/3x^2-，显然当x趋近于无穷时该函数趋近于1。

也就证明了当x趋近于无穷是(1+1/x)^x趋近于e。

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。