Question

如图在△abc中，外角∠cbd和∠bce的平分线bf,cf交于点f,求证，点f在∠bac的平分线

不能加图片

Answer 1

(1)设AP与BC相交于点Q
延长AB至D使得BD＝BQ
延长AC至E使得CE＝CQ
∵PB是ΔABC的外角平分线
∴∠PBD＝∠PBQ
∵PB＝PB（公共），BD＝BQ（作图）
∴ΔPBD≌ΔPBQ
∴PD＝PQ，∠PDB＝∠PQB
同理，可得：PE＝PQ，∠PEC＝∠PQC
∵∠PQB与∠PQC互补
∴∠PDB与∠PEC互补
∴PD＝PE，sin∠PDB＝sin∠PEC

由正弦定理，可知：
在ΔPAD中，PA/sin∠PDB＝PD/sin∠PAB
在ΔPAE中，PA/sin∠PEC＝PE/sin∠PAC
∴sin∠PAB＝sin∠PAC

∵∠BAC是ΔABC的内角，即∠BAC<180°
∴∠PAB＋∠PAC≠180°
∴∠PAB＝∠PAC，即PA是∠A的平分线
得证

(2)作角B，C外角平分线相交于P
P到B，C距离相等（平分线上一点到角两边距离相等）
B，C分别在直线AB，AC上
即P到直线AB，AC距离相等
又因为平分线上一点到角两边距离相等
所以P在BAC的角平分线上

注：图形要画对，B，C两角的外角同时在BC边的外面

说真的。。。我也在做这道题。。
看不懂这两种解法。。。
唉。。

Answer 2

这个实际上是讲三角形的五心中的“旁心”，现在的教材不再提到这个词了。
类似内心，证明如下：
AC的延长线CM，AB的延长线BN
对顶角相等，可以得知，CF也是∠BCM的平分线，BF是∠CBN的平分线。
过F作FH⊥CM于H，FI⊥BC于I，FK⊥BN于K，
CF是BCM的平分线，可以得到：FH=FI
BF是CBN的平分线，可以得到：FK=FI
于是FH=FK
于是F在∠BAC的平分线上

Answer 3

AC的延长线CM，AB的延长线BN
对顶角相等，可以得知，CF也是∠BCM的平分线，BF是∠CBN的平分线。
过F作FH⊥CM于H，FI⊥BC于I，FK⊥BN于K，
CF是BCM的平分线，可以得到：FH=FI
BF是CBN的平分线，可以得到：FK=FI
于是FH=FK
于是F在∠BAC的平分线上

Answer 4

过F分别作FM⊥AD于M,FN⊥AE于N,FO⊥BC于O
∵BF平分∠CBD,CF平分∠BCE
∴FM=FO,FO=FN
∴FM=FN
∴F在∠BAC的平分线上