Question

如何理解二次函数的解析式呢？

Answer 1

二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数常数且a不等于零。二次函数的解析式可以帮助我们理解函数的特性和行为。
1.首先，二次函数的解析式中的a决定了函数的开口方向和开口的大小。当a大于零时，二次函数开口向上，形状类似于一个"U"；当a小于零时，二次函数开口向下，形状类似于一个"∩"。
2.其次，b决定了二次函数的对称轴位置和函数的平移。对称轴是二次函数的抛物线的轴线，其方程为x = -b/2a。当b大于零时，二次函数的对称轴向左平移；当b小于零时，二次函数的对称轴向右平移。
3.最后，c决定了二次函数的平移的垂直方向。当c大于零时，二次函数整体上移；当c小于零时，二次函数整体下移。
4.举例来说，考虑二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3。根据该函数的解析式，我们可以得到以下信息：
1. 开口方向：由于a = 1大于零，所以二次函数开口向上。
2. 对称轴位置：对称轴的方程为x = -(-4)/(2*1) = 2，所以对称轴在x = 2的位置。
3. 平移：由于c = 3大于零，所以二次函数整体上移。
根据这些信息，我们可以画出该二次函数的图像。在x轴上，可以找到顶点为(2, -1)，这是对称轴上的点。整体上移后，顶点变为(2, 2)。整个抛物线开口向上，顶点为最低点。
通过理解二次函数的解析式，我们可以更好地理解二次函数的特性和行为，帮助我们分析和解决与二次函数相关的问题。

Answer 2

根据二次函数的图象来解释更为直观，

当△=b-4ac>0时，函数有两个不同的解，在图象上表示为二次函数与x轴有两个不同的交点；

当△=b-4ac=0时，函数有一个解（亦可看作两个相同的解），在图象上表示为二次函数与x轴有一个交点（或者两个交点重合）；

当△=b-4ac<0时，函数无解，在图象上表示为二次函数不与x轴相交