Question

函数题！

已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意的x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)。且对任意x大于0，都有f（x）＜0，f（3）=-3.证明y=f（x）是R上的减函数；证明f（-x）+f（x）=0

Answer 1

取x1<x2,则可令x2=x1+c,其中c>0,所以f(c)<0
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+c)
=f(x1)-f(x1)-f(c)
=-f(c)>0
所以函数是减函数
2）因为f(x+y)=f(x)+f(y)
所以f(0)=2f(0)所以f(0)=0
0=f(-x+x)=f(-x)+f(x)
得证。

Answer 2

f（3）=-3
f(3+0)=f(3)+f(0)
所以f（0）=0
因此f（-x）+f（x）=f（-x+x）=f（0）=0
可知函数为奇函数（关于原点对称）

设x1大于x2
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）＜0
所以函数递减