Question

已知f(x)是定义域在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f（y）,f(2)=1.问若x满足f（x）-f（x-2）＞3。

求x的取值范围

Answer 1

令x=y=1
则f(1)=f(1)+f(1)解得f(1)=0
令x=y=2,f(4)=2f(2)=2
令x=2,y=4,f(8)=f(2)+f(4)=1+2=3
所以f(x)-f(x-2)>f(8)
f(x)>f(x-2)+f(8)
f(x)>f[8(x-2)]
x>0 ;8(x-2)>0 ;x>8(x-2)
解得2<x<16/7

Answer 2

因为loga(bc)=loga(b)+loga(c)
根据f(xy)=f(x)+f（y），函数是对数函数
又：f(2)=1，所以函数是以2为底的对数函数，即：
f(x)=log2(x)
f(x)-f(x-2)＞3，即：
log2(x)-log2(x-3)＞3
log2[x/(x-3)]＞3
x/(x-3)＞2^3=8
因为0和负数无对数，所以x-3＞0,x＞0，所以:
x＞8(x-3)
x＜24/7
又x＞0,x-3＞0，x＞3，所以：
0＜x＜24/7

Answer 3

f（x）-f（x-2）=f(x/(x-2))＞3=f(8)
因为 (0,+∞)上的增函数
所以 x/(x-2)＞8
所以 （8，64/7）