Question

已知函数f(x)在定义域x∈R+上是增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y)（x,y∈R+)

求f(x)的值域。

Answer 1

解：在等式f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1得 f(1)=0,
又因为函数f(x)在定义域x∈R+上是增函数，
所以当x>1时，f(x)>0；当x<1时，f(x)<0,
令y=x代入已知等式得 f(x^2)=2f(x)
令y=x^2代入已知等式得 f(x^3)=f(x)+f(x^2)=f(x)+2f(x)=3f(x)
所以，一次类推，得到 f(x^a)=af(x),其中a为实数.
所以在条件x>1时，f(x)>0，若a无限增大，那么f(x^a)也无限增大；
在x<1时，f(x)<0，若a无限增大，那么f(x^a)也无限减小。
所以，函数f(x)的值域为（负无穷，正无穷）。