Question

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时，f(x)>1,且对任意的a，b∈R，有f(a+b)=f(a)×f(b)

求证：f(0)=1
求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0

Answer 1

1、f(0)=1
令a=b=0，代入f(a+b)=f(a)×f(b)
得到f(0)=f(0)×f(0)
由于f(0)≠0，所以得到f(0)=1

2、f(x)>0
令a=-b，代入f(a+b)=f(a)×f(b)
得到f(0)=f(a)×f(-a)=1
若a>0，则f(a)>1，又f(a)×f(-a)=1，所以f(-a)>0
若a=0，则f(a)=1，f(-a)=1
若a<0，则f(-a)>1，又f(a)×f(-a)=1，所以f(a)>0
综上 即证对任意的x∈R，恒有f(x)>0