Question

一道高一函数题

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|。

（1）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间。
（2）求函数y=f（x）在区间【1,2】上的最小值。
详细过程。

Answer 1

解析：函数f（x）=x|x-a|
当x>a时，f(x)=x^2-ax
当x=a时，f(x)=0
当x<a时，f(x)=ax-x^2
(1)∵a=2
∴当x>2时，f(x)=x^2-2x
F’(x)=2x-2>0，函数f(x)单调增
当x=2时，f(x)=0
当x<2时，f(x)=2x-x^2
F’(x)=2-2x=0==>x=1，可见当F’(x)过x=1点时，符号由正变负，∴函数在此点取极大值
∴当x∈(-∞,1)时，函数f(x)单调增；当x∈(1,2)时，函数f(x)单调减；
综上f(x)单调增区间为(-∞,1) U(2，+∞)
(2) ∵函数f（x）=x|x-a|
当0<a<=1时，f(x)在区间【1,2】上单调增，最小值为f(1)
当1<a<=2时，f(x)在区间【1,2】上最小值为f(a)
当2<a<3时，f(x)在区间【1,2】上最小值为f(2)
当a=3时，f(x)在区间【1,2】上最小值为f(1)或f(2)
当a>3时，f(x)在区间【1,2】上最小值为f(1)
当a<=0时，f(x)在区间【1,2】上单调增，最小值为f(1)

Answer 2

1,绝对值函数分成两段,x=a=2时为分点
当x<2时 y=2x-x^2=-(x-1)^2+1
即1时有最大值1
单调增为(-∞,1]
当x>=2时 y=x^2-2x=(x-1)^2-1
即x=1时有最小值-1,因定义域为x>=2
所以函数在定义域内为单调增
单调增区间为(-∞,1],[2,+∞)
2,在[1,2]上,函数>=0
所以最小值为0

Answer 3

(1) 当a=2时，f(x)=x|x-2|,
①当x>=2时，f(x)=x^2-2x,这是对称轴为x=1,开口向上的抛物线，当x>2时是增函数；
②当x<2时，f(x)=-x^2+2x,这是对称轴为x=1,开口向下的抛物线，当x<1时为增函数，当1<=x<2时为减函数。
由①、②，原函数的单调递增区间是(-∞，1)∪[2，+∞).
(2) 当 x<a 时，f(x)=-x^2+ax,开口向下；当 x>=a 时，f(x)=x^2-ax,开口向上，对称轴为x=a/2。
① 当 a<1 时，f(x)在[1,2]上为增函数，所以最小值为 f(1)=1-a (a<1);
② 当 1<=a<=2 时，x|x-a|>=0,而 f(a)=0,所以最小值为 0 ；
③ 当 2<a<=3 时，解析式为f(x)=-x^2+ax,a/2<=3/2,对称轴在区间[1,2]中点左侧，[1,2]上的最小值为f(2)=2a-4;
④ 当a>3 时，解析式为f(x)=-x^2+ax,a/2>3/2,对称轴在区间[1,2]中点的右侧，最小值为f(1)=a-1.