Question

一道 高一数学问题

已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)（-1≤x≤1）是奇函数，又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时f(x)取得最小值-5.
①证明：f(1)+f(4)=0。
②求y=f(x),x∈[1,4]的解析式。
③求y=f(x)在[4,9]的解析式。

Answer 1

①证明：因为f(x)周期为5，且为奇函数
所以f(1)+f(4)=f(1)+f(-1)=f(1)-f(1)=0
②:解：因为x=2是次二次函数对称轴，所以知道f(1)=f(3)
因为f(1)+f(4)=0，所以f(3)+f(4)=0
设这个二次函数是y=ax^2+bx+c
根据题意和以上条件
得-b/2a=2
f(2)=-5
f(3)+f(4)=0
解得y=2x^2-8x+3
所以在[1,4]的解析式是y=2x^2-8x+3
③解：因为二次函数求出
所以f(1)=-3
因为在[0,1]上是一次函数，且（-1≤x≤1）是奇函数
可求得在[-1，1]的函数方程是y=-3x
因为周期是5，所以[-1，1]和[4，6]图象相同
将y=-3x右移5个单位，得y=-3(x-5)
也可以知道[1，4]的图象和[6，9]的图象一样
也右移5个单位得。y=2(x-5)^2-8(x-5)+3
所以
[4,9]的解析式是y=-3(x-5)[4，6]
y=2(x-5)^2-8(x-5)+3[6，9]
（谢谢采纳）

Answer 2

1.周期为5，f（x）=f(T+x),f(-1)=f(4),又因f(x)（-1≤x≤1)为奇函数，故f(1)=-f(-1).
故f(1)+f(4)=0
2.y=2x2-8x+3
3.y=-3x 4≤x≤6 , y=2x2-28x+93 6≤x≤9