Question

关于不等式

已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，
求证：a/(a+m)+b/(b+m)＞c/(c+m)

Answer 1

方法1
a,b,c,且m为正数
所以(a+m） (b+m） (c+m)都是大于0
要证a/(a+m) +b/(b+m)>c/(c+m)
即要a(b+m)*(c+m)+b(a+m)*(c+m)>c(a+m)(b+m)
即abc+abm+acm+amm+abc+abm+bcm+bmm-abc-acm-bcm-cmm>0
即abm+amm+abc+abm+bmm-cmm>0
又因为a+b>c mm>0
所以amm+bmm>cmm
所以abm+amm+abc+abm+bmm-cmm>0
得证

方法2
a/(a+m)+b/(b+m)-c/(c+m)(相减通分)
=[a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)]/[(a+m)(b+m)(c+m)]
因为三角形ABC三边长是a ,b, c>0,且m为正数
所以分母[(a+m)(b+m)(c+m)]>0
又因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)
=abc+abm+acm+am^2+abc+bam+bcm+bm^2-abc-cam-cbm-cm^2
=abc+(abm+bam)+(am^2+bm^2-cm^2)
因为a+b>c(三角形两边之和大于第三边)
所以am^2+bm^2=(a+b)m^2>cm^2
所以(am^2+bm^2-cm^2)>0
abc+(abm+bam)>0
所以a/(a+m)+b/(b+m)>c/(c+m)

Answer 2

要证a/（a+m）+b/(b+m)>c/(c+m) ，则需证a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)>c(a+m)(b+m)……①

（两边同乘以（a＋m）×（b＋m）×（c＋m），因为a、b、c、m均大于零，所以不等号方向不变）

即证 （a＋b－c）m^2+2abm+abc>0 ……② (把①式打开，移项变形，很容易得此式子)

这时，可将②式看成关于m的一个一元二次方程在m>=1时恒大于0。下面即证这个结论

因为 a＋b－c>0（三角形两边之和大于第三边），ab>0，所以开口向下且对称轴在y轴左边

所以m>=0时单调递增。

而m=0时（a＋b－c）m^2+2abm+abc＝abc>0，所以m>=1时②式恒成立