证明：f(x)=x³
令x1<x2
则f(x1)-f(x2)=x1³-x2³
立方差公式 =(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²/4+3x2²/4)
=(x1-x2)[(x1+x2/2)²+3x2²/4]
显然(x1+x2/2)²+3x2²/4>0，又因为x1<x2，所以x1-x2<0
所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[(x1+x2/2)²+3x2²/4]<0
即x1<x2时，f(x1)<f(x2)
所以，f(x)是单调递增的
扩展资料
证明二次函数的方法：
二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax2+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax2+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。
二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k) ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
分为下面几种情况：
当h>0时，y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到。
当h<0时，y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象。
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
任取实数x1,x2,且x1<x2.
f(x1)-f(x2)= x1³-x2³=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)
=1/2(x1-x2)(2x1²+2x1x2+2x2²)
=1/2(x1-x2)[ x1²+(x1+x2)² +x2²]
∵x1<x2，∴x1-x2<0,
又x1,x2不会同时为0，x1²+(x1+x2)² +x2²>0,
f(x1)-f(x2)<0,
所以函数f(x)=x³在R上是增函数。
y' = 3x^2 ≥ 0
increasing function.
