Question

已知函数F（x）=A的2x次方+2乘以A的x次方再减一在闭区间-1到1上的最大值为14，求实数A的取值。

Answer 1

由题目,得到:
F(x)=A^(2X)+2A^x-1=(A^x+1)^2-2-----------(1)
设y(x)=A^x,-----------(2)
则有:
F(x)=(y(x)+1)^2-2,所以有:
F(y)=(y+1)^2-2----------------(3)
由于(2)式函数y(x)是单调函数,
1.如果A>1,则为递增函数,y在[-1,1]上的值为:
[A^(-1),A]
而(3)式函数F(y)在[A^(-1),A]区间上也是单调上升的,所以,最大值为y=A时的值,即:
F(A)=(A+1)^2-2,由题目已知为14,所以:
(A+1)^2-2=14,即:A=3
2.如果A<1,则为递减函数,y在[-1,1]上的值为:
[A,A^(-1)]
而(3)式函数F(y)在[A,A^(-1)]区间上仍然是单调上升的,所以,最大值为y=A^(-1)时的值,即:
F(A^(-1))=(A^(-1)+1)^2-2,由题目已知为14,所以:
(A^(-1)+1)^2-2=14,即:A=1/3
3.当A=1时,F(x)为常数2,不符合要求.

总上,实数A的取值为:
A=1/3,3

这么麻烦的题,LZ多给点分啦,哈哈^