Question

数学函数高手请进

1.已知f(x)为一次函数，且满足4f（1-x）-2f(x-1)=3x+18，求函数f(x)在[-1,1]上的最大值，并比较f(2007)与f(2008)的大小

2.有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y与腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域。

帮忙给一下讲解或过程

Answer 1

1.设f(x)=kx+b
f(1-x)=k-kx+b
f(x-1)=kx-k+b
4f(1-x)-2f(x-1)=4k-4kx+4b-2kx-2k-2b=-6kx+2(k+b)=3x+18
k=-1/2,b=17/2
f(x)=-1/2x+17/2;
单调递减
在[-1,1]上的最大值f(-1)=9
f（2007）>f（2008）
=4R+2x-(x/R)
定义域为 0 < x < R*根号2

2.以O为原点，建立简易的直角坐标系。（A、D两点都在y轴左侧）
过O点做AD的垂线，垂足为E；过D点做AO的垂线，垂足为F
三角行OAD为等腰三角形.cosA=（AE/AO）= x/(2R)
又因为cosA=(AF/AD)，所以，AF=R-x/(2R)
所以，CD=2OF=2(OA-AF)=2R-x/R
周长y=2R+2x+CD=4R+2x-(x/R)
定义域：x最小与A点重合，为0（不可取）最大时C、D两点重合于y轴上一点，x为R*根号2（不可取，因为此时不是梯形而是三角形）

Answer 2

1.已知f(x)为一次函数，且满足4f（1-x）-2f(x-1)=3x+18，求函数f(x)在[-1,1]上的最大值，并比较f(2007)与f(2008)的大小
设 f(x)=ax+b
4f（1-x）-2f(x-1)=-6ax+6a+2b=3x+18
对应系数应个等：-6a=3, 6a+2b=18
所以有：a=-1/2, b=21/2
f(x)=-0.5x+10.5
因为f'(x)=-0.5<0, 是减函数，所以 f(2007)>f(2008)
在[-1,1]上，最大值是f(-1)=11

2.有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y与腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域。
过C做梯形的高线交AB于E,因为△BCE相似于△ABC,
所以有：BE/BC=BC/AB, BE=BC²/AB=x²/2R,
周长 y=2x+2R+2R-2BE=2x+2R+2R-2x²/2R
就是 y=(-1/R)x²+2x+4R
其定义域 0<x<R√2